Question

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и N вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 5 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Рассмотреть случаи, когда N = 11 , и когда N = 14 .

Answer 1

Обозначим скорость поезда в начальный момент, как    $v_o ,$

скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя:    $v_1 ,$

когда только 5 последних вагонов не проехали наблюдателя:    $v_5 ,$

и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя:    $v .$

В соответствии с условием: интервалы времени от состояния    $v_o$    до    $v_1 ,$    и от состояния    $v_5$    до    $v$    – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное:

$v - v_5 = v_1 - v_o ;$      [1]

С другой стороны, от состояния    $v_5$    до    $v$    – поезд проезжает расстояние впятеро большее, чем от состояния    $v_o$    до    $v_1$    – а значит, средняя скорость $v_{5end}$    впятеро больше средней скорости    $v_{o-1} .$

$v_{5end} = 5 v_{o-1} ;$

$v + v_5 = 5 v_1 + 5 v_o ;$

Сложим с [1] :

$v = 3 v_1 + 2 v_o ;$      [2]

Поскольку разность краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:

$v^2 - v_o^2 = (N+1) ( v_1^2 - v_o^2 ) ,$
так как вся длина поезда составляет    $N$    вагонов + локомотив.

Подставляем [2] и получаем:

$( 3 v_1 + 2 v_o )^2 = (N+1) v_1^2 - N v_o^2 ;$

$9 v_1^2 + 12 v_1 v_o + 4 v_o^2 = (N+1) v_1^2 - N v_o^2 ;$

$(N-8) v_1^2 - 12 v_1 v_o - (N+4) v_o^2 = 0 ; || : v_o^2$

$(N-8) (frac{v_1}{v_o})^2 - 2 cdot 6 cdot frac{v_1}{v_o} - (N+4) = 0 ;$

$D = 36 + (N-8)(N+4) = N^2 - 4N + 4 = (N-2)^2 ;$

$frac{v_1}{v_o} = frac{6 pm (N-2)}{N-8} ;$

$frac{v_1}{v_o} in { -1 , frac{N+4}{N-8} } ;$

$v_1 = ( 1 + frac{12}{N-8} ) v_o ;$

Из [2]:

$v = 3 v_1 + 2 v_o = 3 cdot ( 1 + frac{12}{N-8} ) v_o + 2 v_o = ( 5 + frac{36}{N-8} ) v_o ;$

Итак:    $v = ( 5 + frac{36}{N-8} ) v_o ;$

В частности, если    $N = 11 ,$    то    $v = 17 v_o ,$

а если    $N = 14 ,$    то    $v = 11 v_o .$