Question

Сформулировать и доказать теорему о средней линии трапеции.

Answer 1

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
Дано: ABCD – трапеция,
MN – средняя линия ABCD
Доказать, что:
1. BC || MN || AD.
2. MN = 1/2(AD + BC).
Доказательство :
1. Рассмотрим треугольники BNC и DNK, в них:
а) угол CNB = углу DNK (свойство вертикальных углов);
б) угол BCN = углу NDK (свойство внутренних накрест лежащих углов);
в) CN = ND (по следствию из условия теоремы).
Значит треугольник BNC = треугольнику DNK (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольник BNC =треугольнику DNK следует, что BN = NK, а значит MN – средняя линия треугольника ABK.
MN || AD.
Так как ABCD – трапеция, то BC||AD, но MN || AD, значит BC || MN || AD.
MN = 1/2 AK, но AK = AD + DK, причём DK = BC (треугольник BNC =треугольнику DNK), значит MN = 1/2 (AD + BC).
Что и требовалось доказать.