Question

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ Тело массы m, после свободного падения с некоторой высоты попадает в водоём глубиной L, упруго ударяется о дно и останавливается на половине глубины. С какой высоты H падало тело? Средняя плотность тела равна плотности воды, изменение скорости при ударе о воду и силой сопротивления движению в воздухе пренебречь. Силу сопротивления движению в воде принять в виде F = -k*V, коэффициент k считать известным. (V-скорость) Желательно с подробным решением.

Answer 1

Мы будем считать тело материальной точкой, чтобы не связываться со сложностями, когда тело проникает в воду и погружено частично (все равно это будет малая поправка к решению)

Итак, сначала очевидное, из закона сохранения энергии мы найдем скорость тела на подлете к воде

$mv^2/2 = mgH\ v = sqrt{2gH}$

При движении в воде сила Архимеда уравновешивается силой тяжести (это следует из условия, причем дважды следует). Поэтому в воде закон Ньютона (что вверх, что вниз) можно записать в следующей форме

$mfrac{Delta v}{Delta t} = -kv = -kfrac{Delta S}{Delta t}\ mDelta v = -kDelta S$

Это для модуля скорости (он все время уменьшается, а при упругом ударе мгновенно меняется направление, но не модуль)

Итак, мы видим, что просуммировав все дельты, мы получим слева полное изменение скорости, а справа - полное расстояние, пройденное телом в воде (3L/2). Отсюда

$displaystyle m(0-v) = -kfrac{3L}{2}\ v = frac{3kL}{2m}\ sqrt{2gH} = frac{3kL}{2m}\\ H = frac{9k^2L^2}{8gm^2}$

P.S. (Для старших девочек и мальчиков) НЕ НАДО РЕШАТЬ ДИФУР В ВОДЕ, И БЕЗ НЕГО ВСЕ ЧТО НУЖНО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛЕГКО ДОСТАТЬ!!!

Answer 2

dv = – [k/m] ds – и есть дифур и мы все его решили :–)

Тут было бы неоптимально решать дифур по времени. Это да. Как и во многих подобных задачах с сопротивлением, пропорциональным скорости, и некоторых задачах с электроцепями.

Answer 3

Уравнение движения тела в воде:

$a = -frac{k}{m}v ;$

Знак минус отражает противоположность силы сопротивления в воде (и соответствующего ускорения) – направлению движения.

Домножим всё на малое приращение времени:    $Delta t to 0 ,$    в течение которого скорость и ускорение можно считать неизменными:

$a Delta t = -frac{k}{m}vDelta t ;$

$Delta v = -frac{k}{m}Delta s ;$

Раз любое малое приращение скорости в воде пропорционально соответствующему приращению пути, то и всё изменение скорости пропорционально всему подводному пути. При этом при упругом ударе скорость не меняется по модулю, а меняет лишь направление, при этом направление вектора скорости относительно (!) направления траектории, очевидно, остаётся неизменно сонаправленным. Так что всё движение в воде можно рассматривать, как движение на дистанцию    $frac{3}{2} L :$

$v_o - 0 = -frac{k}{m} ( 0 - frac{3}{2} L ) ;$

$v_o = frac{3k}{2m} L ;$

С другой стороны, с точки зрения кинематики равноускоренного движения в воздухе: изменение квадрата скорости равно удвоенному произведению пути и ускорения:

$v_o^2 - 0 = 2gH ;$

$v_o^2 = 2gH = ( frac{3k}{2m} L )^2 ;$

$H = frac{9}{8g} ( frac{kL}{m} )^2 ;$    это ответ.