Question

lim(cos x)^(ctg 2x/sin 3x)
x->2pi

Answer 1

Lim(cos x)^(ctg 2x/sin 3x)=...,             x-2pi=t   t-------------->0   x=t+2pi
x->2pi                                                                x->2pi


=Lim(cos( t+2pi))^(ctg(2(t+2pi)/sin3(t+2pi)) =Lim(cos( t))^[ctg (2t)/sin 3(t)]=
  t-->0                                                             t-->0

=e^{Lim[ctg (2t)/sin 3(t)]·ln(cos t)}=e^{Lim[1/(2t·3t)]·ln[(cos t-1)+1]}=
        t-->0                                            t-->0       

=e^{Lim[1/(6t²)]·[cos t-1]}=e^{Lim[1/(6t²)]·[-2sin²(t/2)]}=e^{Lim[1/(6t²)]·[-t²/2)]}=
         t-->0                                t-->0                                      t-->0  
=e^{Lim[1/(6)]·[-1/2)]}=e^(-1/12)
         t-->0