Question

вычислить

tg9° - tg 27° - tg63° + tg81° 

 

Answer 1

tg 81° = tg(90° − 9°) = ctg 9°, tg 63° = tg(90° − 27°) = ctg 27°. И исходное выражение переписывается так:

(tg 9° + ctg 9°) − (tg 27° + ctg 27°).

Преобразуем:

tg α + ctg α = (sin² α + cos² α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α) = 2/sin 2α

Исходное выражение равно

2/sin 18° − 2/sin 54° = 2(sin 54° − sin 18°)/(sin 18° sin 54°) =
= 2(sin 54° − sin 18°)/[½(cos 36° − cos 72°)] = 4(sin 54° − sin 18°)/(sin 54° − sin 18°) = 4,

поскольку cos 36° = cos (90° − 54°) = sin 54°, cos 72° = cos (90° − 18°) = sin 18°.