В классе из 25 учащихся 18 - изучают английский язык, 15 - немецкий и 17 французский. Для каждых двух языков найдётся ровно 5 учащихся, изучающих только эти два языка. Сколько учащихся изучают все три языка, если каждый изучает хотя бы один язык?
Ответы
А – количество учащихся, которые изучают английский язык
Н – количество учащихся, которые изучают немецкий язык
Ф – количество учащихся, которые изучают французский язык
По условию
25 – 18 – 5 = Н + Ф - это количество учащихся, которые НЕ изучают английский язык, значит, они изучают Нем. и Фр.
25 – 15 – 5 = А + Ф - это количество учащихся, которые НЕ изучают немецкий язык, значит, они изучают Англ. и Фр.
25 – 17 – 5 = А + Н - это количество учащихся, которые НЕ изучают французский язык, значит, они изучают Англ. и Нем.
Имеем систему трёх уравнений с тремя неизвестными:
{Н + Ф = 2
{А + Ф = 5
{А + Н = 3
Сложив все эти три уравнения, получим:
Н + Ф + А + Ф + А + Н = 2 + 5 + 3
2А + 2Н + 2Ф = 10
Вынесем за скобку 2
2 * (А + Н + Ф) = 10
Отсюда
А + Н + Ф = 10 : 2
А + Н + Ф = 5
Это ответ: 5 учащихся изучают все три языка.