Question

Мистер Фокс, сбегая вниз по движущемуся эскалатору, насчитал 25 ступенек. Затем он побежал вверх по тому же эскалатору, но с вдвое меньшей скоростью относительно эскалатора, и насчитал при этом 175 ступенек. Сколько ступенек содержит видимая часть эскалатора? Ответ округлить до целых.

Answer 1

В этой задаче мы будем измерять скорости в ступеньках в секунду, а расстояния - в ступеньках.

Скорость движения мистера Фокса вниз относительно эскалатора мы обозначим v (вверх будет 0.5v), скорость движения самого эскалатора u.

Итак, когда мистер Фокс, бежит вниз, он пробегает N1 = 25 ступенек, и тратит на это время

$tau_1 = N_1/v$

При этом эскалатор прокручивается на

$displaystyle S_1 = utau = N_1frac{u}{v}$

И полное расстояние, пройденное мистером Фоксом (которое и есть длина эскалатора)

$L = N_1+S_1 = N_1(1+frac{u}{v})$

Во-втором случае все вычисляется почти аналогично, с той разницей, что длина эскалатора есть разность расстояния, пройденного мистером Фоксом по эскалатору и длины, на которую прокрутился эскалатор

$L = N_2-S_2 = N_2(1-frac{u}{0.5v}) = N_2(1-frac{2u}{v})$

Нас же просят найти L, поэтому сначала мы найдем отношение u/v и подставим в любую из двух формул для L

$displaystyle N_2(1-frac{2u}{v}) = N_1(1+frac{u}{v})\\ frac{u}{v}(N_1+2N_2) = N_2-N_1\\ frac{u}{v} = frac{N_2-N_1}{N_1+2N_2}\\ L = N_1(1+frac{u}{v}) = frac{3N_1N_2}{N_1+N_2} approx 66$

Примерно 66 ступенек