Question

ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом А и меньшим основанием ВС = 1. Окружность с центром в точке О касается прямой ВС в точке С и проходит через точки А и D, ∠AOD = 120°. Найдите длину стороны АВ, если известно, что она больше радиуса этой окружности.

Answer 1

Как известно, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому из угла трапеции С  можно провести через центр окружности О отрезок СЕ до стороны АD, перпендикулярный основаниям трапеции ВС и AD. Проведем также отрезок ОК из центра окружности О до стороны АВ, параллельный основаниям трапеции ВС и AD. Соединим также центр окружности О с вершинами А и D.
Рассмотрим треугольник AOD. Он равнобедренный, т.к. АО=DO=R - радиусу окружности.В этом треугольнике ОЕ - высота, а значит биссектрисса <AOD. Следовательно, <AOE = <AOD/2 = 60.
<АОК = 90 - <AOE = 90-60 = 30.
Т.к. ВСОК - прямоугольник, то ВС=КО и ВК=СО=R.
Из прямоугольного треугольника АКО:
R = АО = КО/Cos30 = BC/(√3/2) = 2BC/√3.
С учетом того, что по условиям задачи сторона АВ больше радиуса окружности, AB = AK+BK = R*Sin<AOK + R = R*Sin30 + R = R/2 + R = (3/2)*R = (3/2)*(2*BC/√3) = BC√3 = √3.
Примечание: если отрезок АВ был бы меньше радиуса окружности, то его можно было бы найти из выражения АВ=ВК-АК = R-AK.