Question

Батарея конденсаторов с вертикально расположенными
пластинами и с емкостями соответственно 5, 8 и 1 мкФ, изображенная на
рисунке 15.4, была заряжена от источника с напряжением 250 В, который
подключался к точкам А и В. а) Какую энергию получила батарея? б)
Каким станет напряжение на батарее, если после отключения ее от
источника второй конденсатор вертикально на половину погрузить в
трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью 2? Ответ:
127,5 мДж, 227 В.

Answer 1

а) Проводник между    $C_1$    и    $C_2$    – изолированный, так что:

$Q_1 = Q_2 = Q ;$

$U_1 = frac{ Q }{ C_1 } ;$

$U_2 = frac{ Q }{ C_2 } ;$

Складываем:

$U = Q ( frac{1}{ C_1 } + frac{1}{ C_2 } ) ;$

Ёмкость на нижней ветке:

$C = frac{Q}{U} = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } ;$

Энергия, аккумулированная на нижней ветке:

$W_{12} = frac{ C U^2 }{2} ;$

На верхней:

$W_3 = frac{ C_3 U^2 }{2} ;$

Во всей цепи:

$W = W_{12} + W_3 = frac{ C U^2 }{2} + frac{ C_3 U^2 }{2} = ( C_{12} + C_3 ) frac{ U^2 }{2} ;$

$W = ( frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } + C_3 ) frac{ U^2 }{2} approx$

$approx ( frac{1}{ 1 000 000 / 5 + 1 000 000 / 8 } + 1 / 1 000 000 ) frac{ 250^2 }{2} approx 127.5$    мДж ;




б) Верхняя половина второго конденсатора имеет половину его полной ёмкости. Нижняя половина второго конденсатора имеет половину ёмкости исходного, умноженную на диэлектрическую проницаемость. Итого обновлённая ёмкость второго конденсатора будет:

$C_2' = frac{C_2}{2} + frac{C_2}{2} varepsilon = frac{ 1 + varepsilon }{2} C_2 > C_2 ;$

Короче говоря, ёмкость второго конденсатора увеличится, он наэлектризует, поляризует и втянет в себя масло, совершив работу. Так что второй конденсатор начнёт втягивать в себя и заряд    $Delta Q$    по правому концу нижней ветки. Противоположный заряд перетечёт и по изолированному проводнику нижней ветки от первого ко второму конденсатору. И такой же заряд    $Delta Q$    перетечёт и по левой стороне цепи между третьим и первым конденсатором. Из-за этого изменятся и напряжения на конденсаторах, а напряжения верхней и нижней ветки, в конечном счете, должны быть одинаковыми.

Из-за увеличения ёмкости второго конденсатора, увеличится и ёмкость всей нижней ветки. Обновлённая ёмкость нижней ветки будет:

$C' = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2' } = 1 / ( frac{1}{C_1} + frac{2}{ C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) ;$

Однако суммарный заряд на точках исходного подключения останется прежним, именно он будет определять конечное напряжение. Заряд до погружения в масло можно посчитать, как:

$Q = (C_3+C)U ;$

Заряд после погружения в масло можно посчитать, как:

$Q = (C_3+C')U' ;$

А поскольку заряд сохраняется, то:

$(C_3+C)U = (C_3+C')U' ;$

$U' = frac{ C_3 + C }{ C_3 + C' } U = frac{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} ) }{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{2}{C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) } U ;$

$U' = frac{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} ) }{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{2}{C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) } U approx frac{ 1 + 1/( frac{1}{5} + frac{1}{8} ) }{ 1 + 1/( frac{1}{5} + frac{2}{8 ( 1 + 2 ) } ) } 250 approx frac{901}{1001} 250 approx 225$    В .