Question

Помогите решить кубическое уравнение x^3-15x^2+74x-90=0

Answer 1

x^3 - 15x^2 + 74x - 90 = 0
Попробуем по методу Горнера
Возможные корни - делители свободного члена 90
x = +-1; +-2; +-3; +-5; +-6; +-9; +-10; +-15; +-18; +-30; +-45; +-90
x | x^3 | x^2 |_x^1 | x^0
------------------------------
x | _1_ |-15 | _74 | -90
------------------------------
1| _1_|-14 | _ 80 |-10 < 0
-1|_1_|-16| _ 90 | -180
2 |_1_|-13| _ 48 | 6 > 0
-2|_1_|-17|_108 |-306
3 |_1_|-12| _ 38 | 24 > 0
Ясно, что если брать числа больше 3, то результат будет > 0.
А если брать меньше -2, то результат будет < 0
У этого уравнения 1 иррациональный корень x ∈ (1; 2)
Точно его можно найти с помощью метода Кардано.
x^3 - 15x^2 + 74x - 90 = 0
a = -15; b = 74; c = -90
Замена x = y - a/3 = y + 5
Получаем
y^3 + py + q = 0, где
p = -a^2/3 + b = -225/3 + 74 = -1
q = 2*(a/3)^3 - a*b/3 + c = 2*(-5)^3 - (-15)*74/3 - 90 = 30
y^3 - y + 30 = 0
$Q=( frac{q}{2} )^2+( frac{p}{3} )^3=15^2+( frac{-1}{3} )^3=225- frac{1}{27}= frac{225*27-1}{27}= frac{6074}{27}$
$y= sqrt[3]{- frac{q}{2} - sqrt{Q} }+sqrt[3]{- frac{q}{2} + sqrt{Q} } =$
$=sqrt[3]{-15 - sqrt{frac{6074}{27}} }+sqrt[3]{- 15 + sqrt{frac{6074}{27}}}=$
$=-sqrt[3]{15+sqrt{frac{6074}{27}} }+sqrt[3]{- 15 + sqrt{frac{6074}{27}}}$
$x=y+5=5-sqrt[3]{15 + sqrt{frac{6074}{27}} }+sqrt[3]{- 15 + sqrt{frac{6074}{27}}}=1,7855$