Question

укажите функцию которая удовлетворяет уравнению y"+xy`+y=xcosx

Answer 1

Обратим внимание, что справа стоит xy' а слева xcos(x). Чтобы избавиться от этих проблемных членов, представим 

$y = u + sin x$

Тогда

$(u'' - sin x) + x(u'+cos x) + u + sin x = xcos x\ u'' + xu' + u = 0$

Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогда

$p = x^2\ dp = 2xdx\ u' = du/dx = 2x(du/dp) = 2sqrt{p}u`\ u'' = du'/dx = 2sqrt{p}(du'/dp) = 2sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``$

Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим
$4pu``+2pu`+2u`+u = 0\ 2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0$

Частным решением последнего уравнения будет
$2u`+u = 0\ u = exp(-p/2) = exp(-x^2/2)\\ y = u+sin x = exp(-x^2/2)+sin x$

Answer 2

В моих терминах можно просто сказать u = 0

Answer 3

Просто я решил пойти чуть дальше и найти хотя бы одно нетривиальное u, но это непринципиально

Answer 4

можно другое решение?

Answer 5

Можно, конечно

Answer 6

Можете его написать?