Question

Решите систему уравнений:
5*x + y = -13
x^2 + y^2 = 13

Answer 1

$left { {{5x+y=-13} atop {x^2+y^2=13}} right.$
Решим первое уравнение относительно $y$:
$left { {{y=-13-5x} atop {x^2+y^2=13}} right.$
Подставим данное значение $y$ в уравнение $x^2+y^2=13$:
$x^2+(-13-5x)^2=13$
Используя формулу: $(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2$ запишем уравнение в развернутом виде:
$x^{2} +169+130x+25x^2=13$
Сложим подобные члены:
$26 x^{2} +169+130x=13$
Перенесем константу ($13$) в левую часть и изменим ее знак:
$26x^2+169+130x-13=0$
Вынесем за скобки общий множитель $13$:
$13(2x^2+13+10x-1)=0$
Вычтем числа:
$13(2x^2+12+10x)=0$
Вынесем за скобки общий множитель $2$:
$13*2(x^2+6+5x)=0$
Используем переместительный закон, чтобы изменить порядок членов:
$13*2(x^2+5x+6)=0$
Запишем $5x$ в виде суммы:
$13*2(x^2+3x+2x+6)=0$
Вынесем за скобки общий множитель $x$, $2$:
$13*2(x(x+3)+2(x+3))=0$
Вынесем за скобки общий множитель $x+3$:
$13*2(x+2)(x+3)=0$
Разделим обе стороны уравнение на $13*2$:
$(x+2)(x+3)=0$
Если произведение равно $0$, то как минимум один из множителей равен $0$:
$x+2=0$
$x+3=0$
$x=-2$
$x=-3$
Подставим данные значения $x$ в уравнения:
$y=-13-5*(-2)$
$y=-13-5*(-3)$
Решим уравнения относительно $y$:
$y=-3$
$y=2$
Решениями системы являюются упорядоченные пары $(x, y)$:
$( x_{1} , y_{1} )=(-2, -3)$
$( x_{2} , y_{2} )=(-3, 2)$
Проверим, являются ли данные упорядочные пары чисел решениями системы уравнений:
$left { {{5*(-2)-3=-13} atop {(-2)^2+(-3)^2=13}} right.$
$left { {{5*(-3)+2=-13} atop {(-3)^2+2^2=13}} right.$
Упростим равенства:
$left { {{-13=-13} atop {13=13}} right.$
$left { {{-13=-13} atop {13=13}} right.$
Упорядочные пары чисел являются решениеями системы уравнений, так как они истинны:
$( x_{1} , y_{1} )=(-2, -3)$
$( x_{2} , y_{2} )=(-3, 2)$