Question

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A,B,C,D и его высоту, опущенную из вершины D на грань ABC.
A(3,1,2), B(1,4,8), C(3,4,-2), D(1,7,8)

Answer 1

$frac{}{AB} =(-2;3;6)\ frac{}{AC}=(0;3;-4) \ frac{}{AD} =(-2;6;6) \ \ V= frac{1}{6}|( frac{}{AB} , frac{}{AC} , frac{}{AD} )| = frac{1}{6} * left|begin{array}{ccc}-2&3&6\0&3&-4\-2&6&6end{array}right|= frac{1}{6}*|( -36+24-(-36+\+48))|= frac{1}{6}*| -24|=4$

$frac{}{n} = [ frac{}{AB} , frac{}{AC} ] = left|begin{array}{ccc}i&j&k\-2&3&6\0&3&-4end{array}right| =i* left|begin{array}{ccc}3&6\3&-4\end{array}right|-j*left|begin{array}{ccc}-2&6\0&-4\end{array}right|+ \ \ +k*left|begin{array}{ccc}-2&3\0&3\end{array}right|=-30i-8j-6k \ \ frac{}{n}=(-30;-8;-6) \ \ S_{ABC}= frac{1}{2} *| frac{}{n}|* frac{1}{2} * sqrt{(-30)^2+(-8)^2+(-6)^2} = frac{1}{2}* sqrt{1000} = \ \=frac{1}{2}*10 sqrt{10} =5 sqrt{10}$

$V= frac{1}{3} *S*h = textgreater h= frac{3V}{S} \ \ h= frac{3*4}{5 sqrt{10} } = frac{12}{5 sqrt{10} } = frac{12 sqrt{10} }{5*10} = frac{6 sqrt{10} }{25} =0.24 sqrt{10} \ \ OTBET: V=4; h=0.24 sqrt{10}$