Question

шарик падает с высоты 2 м на гладкую поверхность.После каждого удара остается 81 процент энергии.Найти время,когда шарик остановится

Answer 1

Окей, пусть при первом подлете шарик имел кинетическую энергию E, тогда после первого отскока будет kE, после второго k²E и так далее. k=0.81. Итак, на n-m шаге энергия, с которой взлетает шарик равна

$E_n = k^nE = k^nmgh$

где h - начальная высота шарика.
Скорость после n-го отскока равна

$v_n = sqrt{2E_n/m} = sqrt{2ghk^n}$

Хорошо известно, что время подъема вверх и полета вниз после n-го отскока составит

$tau_n = frac{2v_n}{g}=frac{2}{g}sqrt{2ghk^n} = (sqrt{k})^nsqrt{frac{8h}{g}}$

А время, за которое шарик остановится равно времени первого полета вниз плюс сумма времен всех отскоков

$displaystyle T = sqrt{frac{2h}{g}}+sumlimits_1^infty(sqrt{k})^nsqrt{frac{8h}{g}} = sqrt{frac{2h}{g}}left(1+2frac{sqrt{k}}{1-sqrt{k}}right) =frac{1+sqrt{k}}{1-sqrt{k}}sqrt{frac{2h}{g}}$

В вычислении суммы нам помогла формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии