Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ!!
Определить частоту v и период t колебаний однородного стержня длиной L=1,2 м около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку отстоящую на ΔL=L/12 от его конца.

Answer 1

При отклонении стержня на оси от ветикали на малый угол    $varphi$    в системе возникает момент сил из-за гравитации.

Центр приложения силы тяжести отстоит от оси на:

$a = frac{L}{2} - Delta L = frac{L}{2} - frac{L}{12} = frac{5}{12} L ;$

а ось приложения силы тяжести отстоит от оси вращения на:

$a sin{ varphi } .$

Стало быть модуль момента силы тяжести равен:    $mga sin{ varphi } .$

Из II-ого Закона Ньютона во вращательной форме:

$varphi'' = - frac{ mga sin{ varphi } }{ J } ;$
знак минус означает, что угол отклонения и угловое ускорение – разнонаправлены.

$J = J_o + ma^2 = frac{mL^2}{12} + ma^2 = m ( frac{L^2}{12} + a^2 ) ;$

При малых углах верно что:    $sin{ varphi } approx varphi ;$

$varphi'' approx - frac{ ga }{ a^2 + L^2/12 } cdot varphi ;$

$omega^2 approx ga / ( a^2 + frac{L^2}{12} ) ;$

$omega^2 approx g / ( a + frac{L^2}{12a} ) = g / ( frac{5}{12} L + frac{L^2}{5L} ) = frac{60g}{37L} ;$

$nu = frac{ omega }{ 2 pi } = frac{1}{ pi } sqrt{ frac{15g}{37L} } ;$

$nu = frac{1}{ pi } sqrt{ frac{15g}{37L} } approx frac{1}{ pi } sqrt{ frac{ 15 cdot 9.8 }{ 37 cdot 1.2 } } approx frac{7}{ pi } sqrt{ frac{5}{74} } approx 0.579$    Гц ;

$T = frac{1}{ nu } = pi sqrt{ frac{37L}{15g} } approx pi sqrt{ frac{37 cdot 1.2}{15 cdot 9.8} } approx frac{ pi }{7} sqrt{ 14.8 } approx 1.73$    сек .