Question

Вычитание множеств (определение)

Answer 1

Разность множеств

Не следует путать с Симметрической разностью.



Разностьдвух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств {displaystyle A} и {displaystyle B}обозначается как {displaystyle Asetminus B}, но иногда можно встретить обозначение {displaystyle A-B} и {displaystyle Asim B}.

Пусть {displaystyle A} и {displaystyle B} — два указанных в определении множества, тогда ихразность определяется (на теоретико-множественном языке):

{displaystyle Asetminus B={xin Amid xnot in B}.}

Это множество часто называютдополнением множества {displaystyle B} до множества {displaystyle A}. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называютуниверсумом, скажем, {displaystyle X}. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством {displaystyle Asubset X} и его относительное дополнение {displaystyle Xsetminus A}, при обозначении которого часто опускается значок универсума: {displaystyle setminus A}[источник не указан 184 дня]; при этом говорится, что {displaystyle setminus A} — (просто)дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что {displaystyle Asetminus B=Acap (setminus B)}, то есть дополнение множества {displaystyle B} до множества {displaystyle A} есть пересечение множества {displaystyle A} и дополнения множества {displaystyle B}.

Также применяется и операторная запись вида {displaystyle A^{complement }}, {displaystyle complement _{X}A} или (если опустить универсальное множество) {displaystyle complement A}.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятиемсимметрической разности