Question

1. Из точки, расположенной вне плоскости проведены перпендикуляр к плоскости и 2 наклонные под углом а к плоскости. Найти косинус угла между проекциями наклонных, если угол между наклонными равен b

Answer 1

∠МАВ=∠МСВ=α
катет МВ- общий
Прямоугольные треугольники МАВ и МВС  равны по катету МВ и острому углу ∠МАВ=∠МСВ=α)
Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство наклонных.
Пусть АМ=МС=х.
Равные наклонные имеют равные проекции.
АВ=СВ=х·сosα.

Из треугольника АМС по теореме косинусов:
АС²=АМ²+МС²-2АМ·МС·сosβ=x²+x²-2x²cosβ

Пусть в треугольнике АВС  ∠АВС=γ,
по теореме косинусов
АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВС·cosγ=
=x²cos²α+x²cos²α-2x²cos²α·cosγ 

Приравниваем правые части
x²+x²-2x²cosβ=x²cos²α+x²cos²α-2x²cos²α·cosγ    ⇒

сosγ=(2x²cos²α-2x²+2x²cosβ)/2x²cos²α;

сosγ=(cos²α-1+cosβ)/(cos²α).