Question

$sqrt{1+2cos ^{2} x} +sinx + sinx sqrt{3-2sin ^{2}x }=3$ решить уравнение.

Answer 1

Выражение под вторым корнем преобразовывается так:
$sqrt{3-2sin^2x} = sqrt{3-2(1-cos^2x)} = sqrt{1+2cos^2x}$
Тогда уравнение можно переписать так:
$sqrt{1+2cos^2x}+sinx+sinxsqrt{1+2cos^2x}=3$
Сделаем хитрый ход, к обоим частям прибавим единицу и разложим левую часть на множители
$sqrt{1+2cos^2x}+sinx+sinxsqrt{1+2cos^2x}+1=4 \ sqrt{1+2cos^2x}(1+sinx)+(1+sinx)=4 \ (1+sinx)( sqrt{1+2cos^2x} +1)=4$
Так как -1≤sinx≤1, получаем что 0≤1+sinx≤2
Так как 0≤cos²x≤1, получаем что 2≤√(1+2cos²x)+1≤√3+1
Отсюда ясно, что левая часть будет равна 4 только когда 1+sinx=2 и √(1+2cos²x)+1=2
Решаем первое уравнение:
$sinx=1 \ x= frac{ pi }{2} +2 pi n, n in mathbb{Z}$
Так как эта серия корней удовлетворяет и второму уравнению ($sqrt{1+cos^2( frac{ pi }{2} +2 pi n)}+1= sqrt{1+0} +1=2$), она и будет решением, потому что обе скобки должны равняться двум одновременно.
Ответ: 
$x= frac{ pi }{2} +2 pi n, n in mathbb{Z}$