Question

Сколько острых углов φ удовлетворяет соотношению
sin(φ)+sin(2φ)+sin(3φ)+…+sin(27φ)=0 ?

Answer 1

Памятуя, что

$sin nvarphi = text{Im}(e^{invarphi})$

Перепишем уравнение следующим образом

$text{Im}(e^{ivarphi}+e^{2ivarphi}+...+e^{27ivarphi}) = 0$

Теперь увидим в скобках обычную геометрическую прогрессию

$text{Im}left(frac{e^{ivarphi}(1-e^{27ivarphi})}{1-e^{ivarphi}}right)=0$

Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число (мы можем это сделать, так как фи от 0 до пи пополам строго). В знаменателе будет чисто действительное число, поэтому уравнение можно будет упростить до

$text{Im}[(1-e^{-ivarphi})e^{ivarphi}(1-e^{27ivarphi})]=0\ text{Im}[(1-e^{ivarphi})(1-e^{27ivarphi})] = 0$

Обсудим более подробно функцию действительного параметра

$f(alpha) = 1-exp(ialpha)$

Множество ее значений на комплексной плоскости - это окружность единичного радиуса, смещенная на 1 по оси действительных значений. Поэтому действительность произведения (см последнее уравнение)

$text{Im}[f(varphi)f(27varphi)] = 0$

Означает две вещи, либо сумма комплексных аргументов сомножителей равна πk, либо второй сомножитель равен 0 (напомним что для острых φ первый множитель не зануляется)

Рассмотрим первую ветвь поподробнее, воспользовавшись тем, что

$tanarg f(alpha) = -frac{sinalpha}{1+cosalpha} = -tan(alpha/2)\\ arg f(varphi)+arg f (27varphi) = pi k\ tan(arg f(varphi)+arg f (27varphi)) = 0\ tan(varphi/2)+tan(27varphi/2) = 0\ varphi/2 = -27varphi/2+pi k\ varphi = pi k/14$

Первая ветвь дает решения в нашей области
π/14; 2π/14; 3π/14 ... 6π/14 (6 корней)

Вторая ветвь f(27φ) = 0 имеет элементарное решение
$27varphi = 2pi k\ varphi = frac{2}{27}pi k$

И это дает нам корни
2π/27; 4π/27; 6π/27...12π/27 (еще 6 корней, не совпадающих с первыми)

! Итого ответ 12 корней. !

В справедливости ответа можно убедиться, построив график в любом графопостроителе. Интересный факт, корни первого семейства расположены достаточно близко к корням второго семейства (по сравнению с характерным расстоянием между парами корней)

Answer 2

Норм решение?

Answer 3

Мне птичка на крыльях принесла, что там можно просто разделить и умножить всю сумму на sin(x/2), тогда получается красиво, когда произведение синусов расписать

Answer 4

Да, спасибо;)