Question

На гладкой горизонтальной поверхности покоится клин массой M. На грань, составляющей угол 30 градусов с горизонтом, падает шар массой m со скоростью v. В результате клин начинает двигаться. Определите скорость клина. Время удара мало, удар считать абсолютно упругим.

Answer 1

Если резко ударить мотком по лежащей на полу доске – то она подскочит. Это произойдет потому, что молоток передаст доске импульс, с которым она частично упруго провзаимодействует с полом и отскочит. Примерно такие же события здесь будут происходить между клином и горизонтальной поверхностью. Клин либо отскочит, если он провзаимодействует с поверхностью упруго, либо он просто потеряет энергию вертикального импульса при неупругом взаимодействии с горизонтальной поверхностью. А поэтому было бы ошибкой учесть только горизонтальную скорость клина в энергетическом уравнении.

Ещё раз, как именно клин после соударения с шаром будет взаимодействовать с горизонтальной поверхностью – мы не знаем (будет скакать или просто будет двигаться горизонтально), поскольку нам не заданы параметры взаимодействия клина и поверхности (абсолютно-упругое, абсолютно-неупругое и т.п.), но в любом случае, нам необходимо учесть часть кинетической энергии, которую будет нести вертикальный (!) импульс клина.

Что бы развеять сомнения, добавлю, что, поскольку мы считаем удар мгновенным, то в тот момент, когда шар УЖЕ оторвётся от верхней поверхности – нижняя поверхность клина ЕЩЁ «не будет знать», что клин уже движется вниз, поскольку сигнал (в виде упругой волны) о верхнем взаимодействии ещё не дойдёт до дна.

Шар взаимодействует с клином точно поперёк их общей поверхности в момент контакта. А поверхность эта сориентирована к горизонту под углом    $alpha = 30^o .$    Стало быть, сила, действующая на клин – будет придавать вертикальный импульс и скорость в    $ctg{ alpha }$    раз больший, чем горизонтальный импульс и скорость.

Обозначим горизонтальную скорость клина, как –    $V ,$    тогда его вертикальная скорость    $Vctg{ alpha } .$

Будем считать, что скорость шара после отскока направлена вбок и ВВРЕХ. Именно из этих соображений далее будем записывать законы сохранения (если получится отрицательное значение скорости, то значит, она направлена – вниз). Обозначим горизонтальную составляющую конечной скорости шара, как    $v ,$    а вертикальную, как    $v_y .$

Из закона сохранения импульса по горизонтали ясно, что:

$mv = MV ;$

$v = frac{M}{m} V ;$

Из закона сохранения импульса по вертикальной оси найдём    $v_y :$

$m v_o = MV ctg{ alpha } - mv_y ,$

$v_y = frac{M}{m} V ctg{ alpha } - v_o ;$

Из закона сохранения энергии найдём горизонтальную скорость клина:

$mv_o^2 = mv^2 + mv_y^2 + MV^2 + M (Vctg{ alpha })^2 ;$

$mv_o^2 = frac{M^2}{m} V^2 + m ( frac{M}{m} V ctg{ alpha } - v_o )^2 + frac{MV^2}{ sin^2{ alpha } } ;$

$mv_o^2 = frac{M^2}{m} V^2 + frac{M^2}{m}V^2 ctg^2{ alpha } - 2MVv_o ctg{ alpha } + mv_o^2 + frac{MV^2}{ sin^2{ alpha } } ;$

$0 = frac{M^2 V^2}{m sin^2{ alpha } } - frac{2MVv_o}{ tg{ alpha } } + frac{MV^2}{ sin^2{ alpha } } ;$

$2 v_o sin{ alpha } cos{ alpha } = ( 1 + frac{M}{m} ) V ;$

$V = v_o frac{ sin{ 2 alpha } }{1+M/m} ;$

Для угла    $alpha = 30^o :$

$V = frac{ sqrt{3} v_o }{2(1+M/m)} ;$

В частности, при    $m = M : V = v_o frac{ sin{ 2 alpha } }{2}$ ;

В частности, при    $m >> M : V = v_o sin{ 2 alpha } ;$

Часть энергии не превратится ни в движение клина вдоль плоскости, ни в движение шара, а уйдёт вместе с вертикальным импульсом клина либо в колебания клина над поверхностью, либо во внутреннюю энергию (при неупругом взаимодействии клина с поверхностью). Что бы там с этой энергией далее не происходило – необходимо учесть эту энергию отдельно, чтобы не отнести её по ошибке к энергии горизонтального движения клина. После пояснения термина – «потеря энергии» в контексте данной задачи, можно эту потерю и посчитать.

Потеря энергии:    $E_{lost} = frac{M}{2} ( V ctg{ alpha } )^2 = 2M ( frac{ v_o cos^2{ alpha } }{1+M/m} )^2 ;$

$E_{lost} = frac{ m v_o^2 }{2} cdot frac{4m}{M} (frac{ cos^2{ alpha } }{1+m/M} )^2 ;$

$E_{lost} = frac{4m}{M} (frac{ cos^2{ alpha } }{1+m/M} )^2 E_o = frac{4M}{m} (frac{ cos^2{ alpha } }{1+M/m} )^2 E_o ;$

где    $E_o$    – начальная кинетическая энергия.

Для угла    $alpha = 30^o :$

$E_{lost} = frac{9m}{4M(1+m/M)^2} E_o = frac{9M}{4m(1+M/m)^2} E_o ;$

При    $m << M : E_{lost} to 0 ;$
(проверка очевидного предельного перехода)

При    $m = M : E_{lost} = frac{9}{16} E_o ;$

При    $m >> M : E_{lost} to 0 ;$