Question

По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х............х n .
Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х ............х 20! ,
чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Answer 1

Ответ:

10!

Пошаговое объяснение:

Расставим скобки, собрав пары соседних сомножителей:

$1!cdot2!cdot3!cdot4!cdots19!cdot20!=(1!cdot2!)cdot(3!cdot4!)cdots(19!cdot20!)=star$

Каждая скобка представляет собой произведение вида

$n!cdot(n+1)!=n!cdot(1cdot2cdot3cdots ncdot(n+1))=n!cdot n!cdot(n+1)=(n!)^2cdot(n+1)$

Тогда

$star=(1!)^2cdot2cdot(3!)^2cdot4cdot(5!)^2cdot6cdots(19!)^2cdot20=(1!cdot3!cdots19!)^2times\times(2cdot4cdot6cdots20)=heartsuit$

Первый множитель представляет собой полный квадрат, во втором все сомножители делятся на 2:

$2cdot4cdot6cdots20=(2cdot1)cdot(2cdot2)cdots(2cdot10)=2^{10}cdot(1cdot2cdots10)=2^{10}cdot10!$

Таким образом,

$heartsuit=(1!cdot3!cdots19!)^2cdot2^{10}cdot10!=(1!cdot3!cdots19!cdot2^5)^2cdot10!$

Чтобы выражение осталось полным квадратом, достаточно вычеркнуть 10!.