Question

Найдите плащадь фигуры предварительно построив график ограниченной линиями y=5x-2xв квадрате и y=0

Answer 1

График во вложении (красный $y=5x-2x^2$, синий $y=0$)

Найдем границы интегрирования:

$displaystyle 5x-2x^2=0\\x(5-2x)=0\\x_1=0\\5-2x=0 Rightarrow x_2=2 frac{1}{2}$

Теперь решаем определенный интеграл:

$displaystyle intlimits^{2 frac{1}{2}} _0 {5x-2x^2} , dx = frac{5x^2}{2} - frac{2x^3}{3}Bigg|_0^{2 frac{1}{2} } = frac{15x^2-4x^3}{6}Bigg|_0^{2 frac{1}{2} } =left( frac{93 frac{3}{4}-62 frac{1}{2} }{6} right)-\\-left( frac{0-0}{6} right)=frac{93 frac{3}{4}-62 frac{1}{2} }{6}= frac{31 frac{1}{4} }{6} =5 frac{5}{24}$

Ответ: Площадь фигуры ограниченной линиями $y=5x-2x^2$ и $y=0$, равна $displaystyle 5 frac{5}{24}$ ед².