Question

Вычислить предел     $lim_{x to 0} frac{cos ^{2}x-cos ^{2}2x }{ x^{2} \ }$

Answer 1

cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = 2 * cos(x)^2 - 1

Возводим в квадрат, подставляем в числитель и упрощаем его, приводя подобные члены и используя простые тригонометрические формулы. После проведенных преобразований получаем, что числитель равен

sin(x)^2 * ( 4 * cos(x)^2 - 1)

Таким образом, предел нам нужно найти следующей функции при x -> 0:

sin(x)^2 * ( 4 * cos(x)^2 - 1)/x^2 = (sin(x)/x)^2 * ( 4 *cos(x)^2 - 1).

Предел произведения равен произведению пределов, если пределы сомножителей есть и конечны.

lim(sin(x)/x), x -> 0 равен 1
lim(4 *cos(x)^2 - 1), x -> 0 равен 3

Ответ: предел указанной функции при x ->0 равен 3. В приложенном файле график функции :) (для наглядности).