Question

Мистер Фокс загадал натуральное число. Лёша возвел число Фокса в квадрат, а Боря возвел число Фокса в куб. Мистер Форд посчитал суммарное число цифр у чисел, которые получили Лёша и Боря. Какой результат мог получить Форд? Отметьте все возможные варианты.
2017201520182020201420192016

Answer 1

Рассмотрим произвольное число A в котором n цифр. Очевидно, что

$10^{n-1}leq A textless 10^n\ 10^{2n-2}leq A^2 textless 10^{2n}\ 10^{3n-3}leq A^3 textless 10^{3n}$

Поскольку в числе 10^k ровно k+1 цифра, можно утверждать что:

В числе A^2 количество цифр от 2n-1 до 2n включительно
В числе A^3 количество цифр от 3n-2 до 3n включительно

Суммарное число цифр, таким образом, лежит в пределах

от 5n-3 до 5n включительно. То есть, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 могут быть только 2,3,4 и 0

Подходят: 2014, 2015
2017, 2018,2019, 2020.