Question

Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиусом 5 см. Найти площадь этого треугольника и его боковую сторону. КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ без формулы? 

Answer 1

Пусть вписан ABC, пусть O - это центр окружности, тогда AO=OB=OC=5=R.

В треугольника AOC известны 3 стороны. Распишем теорему косинусов:

$AC^2=AO^2+CO^2-2AO*COcosAOC$ 

$AO^2+CO^2-AC^2=2AO*COcosAOC$

$frac{AO^2+CO^2-AC^2}{2AO*CO}=cosAOC$

$arccos(frac{AO^2+CO^2-AC^2}{2AO*CO})=AOC$

угол BOC=(360- угол AOC)/2=180- угол AOC/2;

В треугольнике BOC известны угол и 2 стороны. Найдём по теореме косинусов BC:

$BC^2=BO^2+OC^2-2BO*OCcosBOC$

$BC^2=BO^2+OC^2-2BO*OCcos(180- arccos(frac{AO^2+CO^2-AC^2}{2AO*CO})/2)$

$BC=sqrt{BO^2+OC^2-2BO*OCcos(180- frac{arccos(frac{AO^2+CO^2-AC^2}{2AO*CO})}{2})}$

$BC=sqrt{25+25-2*5*5cos(180- frac{arccos(frac{25+25-64}{2*5*5})}{2})}$

$BC=sqrt{50+50cos( frac{arccos(frac{-14}{50})}{2})}$

$BC=5sqrt{2+2cos( frac{arccos(frac{-7}{25})}{2})}$

угол OAC=(180-угол AOC)/2=90- угол AOC 

Высота из вершины B содержит в себе центр окружности, так как в равнобедренном треугольнике она же биссектриса и медиана.

BH1=BO+OH1=BO+AOsinOAC=BO+AOsin(90-AOC)=BO(1+cosAOC)

$BH1=BO(1+frac{AO^2+CO^2-AC^2}{2AO*CO})=5(1+frac{25+25-64}{2*5*5})=5frac{18}{25}=$

$=3frac{3}{5}$