Question

Посчитать неопределенный интеграл:
∫$frac{dx}{5-4sinx+3cosx}$, причем используя следующее условие для решения: (t=tg$frac{x}{2}$)

Answer 1

$sin x = frac{2tan (x/2)}{1+tan^2 (x/2)} = frac{2t}{1+t^2}\ cos x = frac{1-tan^2 (x/2)}{1+tan^2 (x/2)} = frac{1-t^2}{1+t^2}\ dt = frac{dx/2}{cos^2(x/2)} = frac{dx}{2}(1+t^2)\\ 5-4sin x+3cos x = frac{5(1+t^2)-8t+3(1-t^2)}{1+t^2} = frac{2t^2-8t+8}{1+t^2} = 2frac{(t-2)^2}{1+t^2}\\ int(5-4sin x+3cos x)dx = int frac{dt}{(t-2)^2} = -frac{1}{t-2} +C = frac{1}{2-tan(x/2)}+C$