Question

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 имеет не менее трех корней.

Answer 1

$x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 \ x^4-a^2+2x^3-4x^2-2ax+4a=0 \ (x^2-a)(x^2+a)+2x^2(x-2)-2a(x-2)=0 \ (x^2-a)(x^2+a)+2(x-2)(x^2-a)=0 \ (x^2-a)(x^2+a+2(x-2))=0 \ (x^2-a)(x^2+a+2x-4))=0 \ (x^2-a)(x^2+2x+a-4)=0 \ (x- sqrt{a} )(x+ sqrt{a} )(x^2+2x+a-4)=0$
произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.

Уравнение четвертой степени может иметь максимум 4 действительных различных корня: x₁; x₂; x₃; x₄
Первые два корня: x₁=√a и x₂=-√a
квадратное уравнение: x²+2x+a-4=0 

1)имеет два корня, если дискриминант больше нуля (D>0)
2)имеет один корень, если D=0
3)не имеет корней, если D<0

3-ий случай нас не интересует, так как исходное уравнение будет иметь только два корня: x₁=√a и x₂=-√a

анализируем исходное уравнение,
если x₁=x₂  =>  √a=-√a  => a=0
тогда квадратное уравнение  x²+2x+a-4=0 - должно иметь два корня, (причем ни один из этих корней не должен равняться нулю) чтобы было хотя бы 3 корня у исходного уравнения

$1) left { {{a=0} atop {D textgreater 0}} right. textless = textgreater left { {{a=0} atop {4-4*(a-4) textgreater 0}} right. textless = textgreater left { {{a=0} atop {4-4a+16 textgreater 0}} right. textless = textgreater left { {{a=0} atop {20 textgreater 4a}} right. \ \ textless = textgreater left { {{a=0} atop {a textless 5}} right. textless = textgreater a=0$
то есть a=0 подходит для нашего условия.

рассматривать a<0, нет смысла, так как x₁=√a и x₂=-√a
"а" под квадратным корнем, значит "а" должно быть больше или равно нулю.
Если x₁≠ x₂ , тогда "а" может быть любым положительным числом (а>0)
и уже будет два корня. Следовательно квадратное уравнение может иметь один или два корня, чтобы всего было не менее 3-х корней.


$2) left { {{a textgreater 0} atop {D geq 0}} right. textless = textgreater left { {{a textgreater 0} atop {a leq 5}} right. textless = textgreater 0 textless a leq 5$

c учетом того, что а=0 или а∈(0;5], получается, что а∈[0;5]

НО и это еще не все!

Уравнение четвертой степени может иметь меньше 3-х корней, если
х₁=х₃ и х₂=х₄

или наоборот:
х₁=х₄ и х₂=х₃

Найдем корни квадратного уравнения: х₃ и х₄
 
$x^2+2x+a-4=0 \ \ D=4-4(a-4)=4(1-a+4)=4(5-a) \ sqrt{D} = sqrt{4(5-a)}=2 sqrt{5-a} \ \ x_{3,4}= frac{-2^+_-2 sqrt{5-a} }{2} =-1^+_- sqrt{5-a} \ \ 3) left { {{x_1=x_3} atop {x_2=x_4}} right. textless = textgreater left { {{ sqrt{a} =-1+ sqrt{5-a} } atop {- sqrt{a}=-1- sqrt{5-a} }} right. textless = textgreater left { {{ sqrt{a}+1= sqrt{5-a} } atop { sqrt{a}=1+ sqrt{5-a} }} right. textless = textgreater \ \ textless = textgreater left { {{a+2 sqrt{a} +1=5-a} atop {a=1+2 sqrt{5-a}+5-a }} right. textless = textgreater$
$textless = textgreater left { {{2 sqrt{a}=4-2a} atop {2 sqrt{5-a}=2a-4 }} right. textless = textgreater left { {{ sqrt{a} =2-a} atop { sqrt{5-a}=a-2 }} right. textless = textgreater$

Дальше можешь сам(а) дорешать и убедится, что решений у этой системы нет

$4) left { {{x_1=x_4 atop {x_2=x_3}} right. textless = textgreater left { {{ sqrt{a}=-1- sqrt{5-a} } atop {- sqrt{a} =-1+ sqrt{5-a} }} right. textless = textgreater left { {{ sqrt{a}+ sqrt{5-a} =-1 } atop {sqrt{a}+ sqrt{5-a} =1}} right.$

эта система так же не имеет решений.

Были рассмотрены все случаи (по-моему мнению)

ОТВЕТ:  а∈[0;5]