Question

1)Определить работу,совершаемую 1 молем воздуха в цикле Карно , если степень изотермического и адиабатического расширения равна двум , температура нагревателя T1 = 400 K
(к ответу прикрепить график ,если он используется)

Answer 1

Идеальный цикл Карно состоит из четырёх последовательных ветвей:

1-2 : Изоттермическое расширение с подогревом
на температуре T12 нагревателя, ∆A12 = ∆Q12 > 0 ; ∆U12 = 0 ;

2-3 : Адиабатическое расширение с само-охлаждением ∆T23=–∆T<0
от температуры T12 до температуры T34 холодильника, ∆A23 = –∆U23 > 0 ; ∆Q23 = 0 ;

3-4 : Изоттермическое сжатие с телоотведением
на температуре T34 холодильника, ∆A34 = ∆Q34 < 0 ; ∆U12 = 0 ;

4-1 : Адиабатическое сжатие с само-нагреванием ∆T41=∆T>0
от температуры T34 до температуры T12 нагревателя, ∆A41 = –∆U41 > 0 ; ∆Q41 = 0 ;

В разнонаправленных адиабатических процессах 2-3 и 4-1, соединяющих ОДНИ И ТЕ ЖЕ изотермы – происходят, очевидно, одинаквые изменения температуры:

∆T23 =  T34 – T12 = –∆T < 0 ;

∆T41 =  T12 – T34 = ∆T > 0 ;

Поскольку U = Cv ν T , то:

∆U23 = –Cv ν ∆T = –∆U41 ;

Но в адиабатических процессах ∆A = –∆U, а поэтому:

∆A23 = –∆A41 ;

Таким образом (как собственно для Цикла Карно это и хорошо известно):

∆A23 + ∆A41 = 0    – т.е. сумма частичных работ на адиабатах в Ц.Карно равна нулю.



Уравнение адиабаты: VT^[Cv/R] = const ;

Отсюда ясно, что поскольку, отношения температур на концах обеих адиабат одинаковое, то и отношение объёмов на концах обеих адаиабат одинаковое, а значит, и в процессе 2-3 и в процессе 4-1 объём меняется ровно вдвое.

Т.е. V4 = 2V1. Но, поскольку V3 = 4V1, то на второй изотерме 3-4 – отношение объёмов ровно такое же, как и на первой изотерме.


Работа газа на изотерме 1-2 выражается, как:

∆A12 = νRT12 ln|V2/V1| ;


Работа газа на изотерме 3-4 выражается, как:

∆A34 = νRT34 ln|V4/V3| = –νRT34 ln|V2/V1| = –(T34/T12) ∆A12 ;


Суммарная работа

∆A = ∆A12 + ∆A23 + ∆A34 + ∆A41 = ∆A12 + ∆A34 = ∆A12 ( 1 – T34/T12 ) ;


Температуру T34 найдём из уравнения адиабаты: VT^[Cv/R] = const ;

V2 T12^[Cv/R] = V3 T34^[Cv/R] ;

T34/T12 = (V2/V3)^[R/Cv] ;


Окончательно:

∆A = ∆A12 ( 1 – T34/T12 ) = νRT12 ln|V2/V1| ( 1 – (V2/V3)^[R/Cv] ) ;

Для воздуха: Cv = [5/2] R и, стало быть,
с учётом условия о том, что: V2/V1 = V3/V2 = 2, получаем:

∆A = νRT12 ln|V2/V1| ( 1 – (V2/V3)^[R/Cv] ) = νRT12 ln2 ( 1 – 1/2^[2/5] ) ;

∆A = νRT12 ln2 ( 1 – 1/2^[2/5] ) = 8.315*400*ln2 ( 1 – 1/2^0.4 ) ≈ 558 Дж .

Answer 2

спасибо большое!