Question

Решите уравнение:
$25^{ log_5^{2}x } - 3 x^{log_5x} = 10$

Answer 1

$25^{ log_5^2x } - 3 x^{log_5x} = 10$

ОДЗ: х>0

Преобразуем уменьшаемое:
$25^{ log_5^2x }=(5^2)^{ log_5^2x }=(5^2)^{ log_5xlog_5x }= 5^{ 2log_5xlog_5x }= \ =(5^{log_5x})^{ 2log_5x }=x^{ 2log_5x }=(x^{ log_5x })^2$

Выполним замену: $x^{ log_5x }=y>0$

Получаем уравнение:
$y^2-3y=10 \ y^2-3y-10=0 \ (y-5)(y+2)=0 \ y_1=5 \ y_2=-2$

Второй корень не подходит, так как обозначенное за у выражение может быть только положительным.

Возвращаемся к исходной переменной:
$x^{ log_5x }=5 \ log_5x^{ log_5x }=log_55 \ log_5xlog_5x}=1 \ log^2_5x=1 Rightarrow left[begin{array}{l} log_5x=1Rightarrow x_1=5^1=5\ log_5x=-1Rightarrow x_2=5^{-1}= frac{1}{5} end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 5; 1/5.

Answer 2

неправильно