Question

два шара массами m1=1 кг и m2=2 кг подвешены на легких жестких стержнях длиной L=1 каждая. между ними вставлена пружина сжатая на величину ∆l=147кН/м.В исходном состоянии стержни вертикальны,а пружина скреплена нитью.на какие углы отклоняться стержни после пережигания нити?

Answer 1

Из геометрических соображений ясно, что если стержень отклоняется на угол α, изменение высоты шарика на конце стержня составляет

$Delta h = L-Lcosalpha = L(1-cosalpha)$

Поэтому можно уже говорить, что энергия сжатой пружины пошла на увеличение потенциальной энергии шариков

$frac{kDelta l^2}{2} = m_1gL(1-cosalpha_1)+m_2gL(1-cosalpha_2)$

С другой стороны, каждый шарик получает одинаковый по модулю импульс p в силу закона сохранения импульса, и кинетическая энергия шарика переходит в его потенциальную энергию, поэтому

$frac{p^2}{2m_1} = m_1g(1-cosalpha_1)\ frac{p^2}{2m_2} = m_2g(1-cosalpha_1)\\ frac{m_2g(1-cosalpha_2)}{m_1g(1-cosalpha_1)} = frac{m_1}{m_2}\ frac{kDelta l^2}{2} = m_1gL(1-cosalpha_1)+m_2gL(1-cosalpha_2)$

Решая систему из двух последних строчек найдем что
$m_1g(1-cosalpha_1) = frac{kDelta l^2}{2}frac{m_2}{m_1+m_2}\\ m_2g(1-cosalpha_2) = frac{kDelta l^2}{2}frac{m_1}{m_1+m_2}\\ alpha_1 = arccosleft(1-frac{kDelta l^2}{2g}frac{m_2/m_1}{m_1+m_2}right)\\ alpha_2 = arccosleft(1-frac{kDelta l^2}{2g}frac{m_1/m_2}{m_1+m_2}right)$