Question

как их решить если они одинаковые а разный только числитель,а в таких неравенствах числитель вроде бы вообще не имеет значения?

Answer 1

3)  $frac{14}{x^2+2x-15} leq 0$
ОДЗ: x²+2x-15≠0
В числителе- положительное число, в знаменателе- квадратный трёхчлен. В итоге, вся дробь может становится отрицательной только если знаменатель отрицателен. А равной нулю она не будет.

Рассмотрим знаменатель: графиком квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при x² положительный, то ветви этой параболы направлены вверх.

Чтобы узнать, имеет ли такая функция отрицательные значения, нужно найти точки её пересечения с осью X. Для этого надо приравнять выражение нулю, и решить полученное уравнение:
$x^2+2x-15=0$
$x_1=frac{-2+sqrt{2^2-4*1*(-15)}}{2*1}=frac{-2+sqrt{64}}{2}=3$
$x_2=frac{-2-sqrt{2^2-4*1*(-15)}}{2*1}=frac{-2-sqrt{64}}{2}=-5$

Запишем область допустимых значений x для исходного неравенства:

ОДЗ: x≠-5, x≠3
(при этих значениях икс знаменатель дроби становится равен нулю, что недопустимо)

Между этими двумя значениями икс парабола находится в минусе, а вне этих значений- оси параболы уходят в плюс.

Значит, решением неравенства будут следующие значения икс:
$-5 textless x textless 3$

Это решение можно отобразить на числовой оси (смотри приложенную картинку).

4)  $frac{-14}{x^2+2x-15} leq 0$
ОДЗ: x²+2x-15≠0
Числитель- отрицательное число, в знаменателе- квадратный трёхчлен. Вся дробь станет отрицательной, только если знаменатель положителен. А равной нулю она не будет.

Знаменатель: коэффициент при x² положительный, значит ветви параболы (графика функции y=x²+2x-15) направлены вверх.

Далее, решение уравнения (такое же, как в примере №3):
$x^2+2x-15=0$
$x_1=frac{-2+sqrt{2^2-4*1*(-15)}}{2*1}=frac{-2+sqrt{64}}{2}=3$
$x_2=frac{-2-sqrt{2^2-4*1*(-15)}}{2*1}=frac{-2-sqrt{64}}{2}=-5$
ОДЗ: x≠-5, x≠3

Между этими двумя значениями икс парабола находится в минусе, а вне этих значений- оси параболы уходят в плюс.

Значит, решением неравенства будут следующие значения икс:
$left { {{x textless -5} atop {x textgreater 3}} right$

Это решение можно отобразить на числовой оси (смотри приложенную картинку).

Answer 2

Далее, решение ненавенства №4: Пишем само неравенство, и ОДЗ: x²+2x-15≠0. В числителе- отрицательное число, в знаменателе- квадратный трёхчлен. В итоге, вся дробь может становится отрицательной только если знаменатель положителен. А равной нулю она не станет.

Answer 3

Далее: Квадратный трёхчлен- эта функция даёт график параболы. Так как коэффициент при x² положительный, то ветви этой параболы направлены вверх (то есть, значения бесконечно уходят в плюс).

Answer 4

Далее: Чтобы узнать диапазон x, при котором такая функция положительна, нужно найти точки её пересечения с осью X. Для этого надо приравнять выражение нулю, и решить полученное уравнение: x²+2x-15=0

Answer 5

Далее: решаем уравнение так же, как в №3, потом пишем ОДЗ переменной x: (−∞, -5)∪(-5, 3)∪(3, +∞)

Answer 6

Значит, отрицательным наше исходное неравенство будет при следующих значениях икс: x<-5 и x>3. Такой ответ обычно обводится фигурной скобкой, как система неравенств, либо отображается на числовой оси.