Question

помогите вычислить предел ( подробно пожалуйста, ибо 3 раза подходил к преподу, три раза говорил не правильно сделал)
Сам пример: lim 2x/tg(2pi(x+1/2))
x стремится к 0

Answer 1

$limlimits _{x to 0} frac{2x}{tg(2pi(x+frac{1}{2}))} =[, tg(2pi (x+ frac{1}{2}))=tg(2pi x+pi )=tg(2pi x), ]=\\=limlimits _{xto 0} frac{2x}{tg(2pi x)} =limlimits_{xto 0} left (frac{2pi x}{sin(2pi x)} cdot frac{cos(2pi x)}pi }right )=limlimits _{xto 0} frac{2pi x}{sin(2pi x)}cdot limlimits _{xto 0}frac{cos(2pi x)}{pi }=\\=1cdot limlimits _{xto 0}frac{cos(2pi x)}{pi }=frac{1}{pi }\\P.S.; ; ; tg( alpha +pi )=tg alpha$

Замечание.  Можно сразу   $tg(2pi x)$  заменить на эквивалентную бесконечно малую величину   $2pi x$  , так как   $2pi xto 0$    при $xto 0$ .