Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Помогите пожалуйста!( Завтра типовик отдать нужно...

Answer 1

$q=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}+4x_{3}^{2}=$

$=(x_{1}^{2}+4x_{1}x_{3}+4x_{3}^{2})-(x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3})=$

$=(x_{1}+2x_{3})^{2}-(x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+x_{3}^{2}-x_{3}^{2})=$

$=(x_{1}+2x_{3})^{2}-((x_{2}+x_{3})^{2}-x_{3}^{2})=$

$=(x_{1}+2x_{3})^{2}-(x_{2}+x_{3})^{2}+x_{3}^{2}.$

Пусть

$y_{1}=x_{1}+2x_{3}$
$y_{2}=x_{2}+x_{3}$
$y_{3}=x_{3}$

Подставляем в исходную форму:
$q=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ - канонический вид квадратичной формы q, выраженной через другие переменные $y_{1}, y_{2}, y_{3}$.