Question

Однородный диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний?

Answer 1

Момент инерции диска равен (относительно центра)

$J_0 = mR^2/2$

Относительно края по теореме Гюйгенса Штейнера

$J_1 =J_0 + mR^2 = 3mR^2/2$

Представим, что диск отклонен, на угол фи, тогда запишем второй закон Ньютона (момент инерции на угловое ускорение равен моменту силы тяжести)

$J_1 varphi'' = -mgRsinvarphi approx - mgRvarphi\\ varphi''+frac{mgR}{J_1}varphi =0\\ varphi''+frac{2g}{3R}varphi=0$

Мы получили-таки уравнение колебаний, а значит частота равна

$omega = sqrt{frac{2g}{3R}}$