Question

помогите пожалуйста вычислить предел... ОЧЕНЬ СРОЧНО
lim(ln(e+x))^ctgx
x→0

Answer 1

Ну вот так можно:
$lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)=e^{ln lim_{x to 0} ln^{ctgx} (e+x)}=e^{ lim_{x to 0} ln [ln^{ctgx}(e+x)]}= \ =e^{lim_{x to 0}ctgxln[ln(e+x)]}=e^{lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }$
Теперь находим получившийся в показателе степени предел с помощью правила Лопиталя:
${lim_{x to 0} frac{ln[ln(e+x)]}{tgx} }={lim_{x to 0} frac{(ln[ln(e+x)])'}{(tgx)'} }={lim_{x to 0} frac{ frac{1}{(e+x)ln(e+x)} }{ frac{1}{cos^2x} } }= \ = lim_{x to 0} frac{cos^2x}{(e+x)ln(e+x)} = frac{1}{e}$
Значит исходный предел равен $e^ frac{1}{e}$