Question

Помогите пожалуйста. Алгебра. Найти наименьшее значение выражения.

Answer 1

Введем функцию $f(x)=|log_x7+log_7x|$, наименьшее значение которой нужно найти. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x)=log_x7+log_7x= dfrac{1}{log_7x} +log_7x$, для которой найдем производную:
$g'(x)=- dfrac{1}{log^2_7x} cdot(log_7x)'+(log_7x)'= - dfrac{1}{log^2_7x} cdot dfrac{1}{xln7}+dfrac{1}{xln7}= \ =dfrac{1}{xln7}left(1-dfrac{1}{log^2_7x}right)$
Находим нули производной:
$dfrac{1}{xln7}left(1-dfrac{1}{log^2_7x}right)=0$
Первый сомножитель нулю не равен. Тогда:
$1-dfrac{1}{log^2_7x}=0 \ dfrac{1}{log^2_7x}=1 \ log^2_7x=1 \ left[begin{array}{l}log_7x=1\log_7x=-1\end{array} Rightarrow left[begin{array}{l} x=7 \ x= frac{1}{7} \end{array}$
Точка х=7 - точка минимума
Точка х=1/7 - точка максимума
Находим значение функции в точках экстремума:
$g(7)=log_77+log_77=1+1=2 \ Rightarrow f(7)=|g(7)|=|2|=2$
Минимум для функций f и g
$g( frac{1}{7} )=log_frac{1}{7} 7+log_7frac{1}{7} =-1-1=-2 \ Rightarrow f( frac{1}{7} )=|g( frac{1}{7} )|=|-2|=2$
Максимум для функции g, но минимум для функции f, так как она принимает значения, равные модулям соответствующих значений функции g. Для иллюстрации: при построении графика функции f на основе графика функции g, часть графика функции g, находящаяся ниже оси х отображается симметрично в верхнюю полуплоскость
Ответ: 2