Question

Помогите пожалуйста выполнить
5 пример grad z в точке М
6 пример найти производ по направлению вектора а в точке М

Answer 1

5.
$z=x^2+2y^2 \ mathrm{grad} z = frac{partial z}{partial x}cdot vec{i}+ frac{partial z}{partial y}cdot vec{j} \ frac{partial z}{partial x}=2x \ frac{partial z}{partial y}=4y \ mathrm{grad} z = 2xcdot vec{i}+4ycdot vec{j} \ mathrm{grad}_M z = 2cdot2cdot vec{i}+4cdot(-2)cdot vec{j} \ mathrm{grad}_M z = 4vec{i}-8vec{j}$

6.
$z=3x^4+xy+y^2 \ frac{partial z}{partial s} = frac{partial z}{partial x}cos alpha + frac{partial z}{partial y}cos beta \ frac{partial z}{partial x}=12x^3+y \ frac{partial z}{partial y}=x+2y$
$frac{partial z}{partial s} =(12x^3+y)cos alpha + (x+2y)cos beta$
Так как угол α=45°, то угол β=90°-α=90°-45°=45°.
$frac{partial z}{partial s} (vec{a}, M)=(12cdot1^3+2)cos 45^0+ (1+2cdot2)cos 45^0= \ =(12+2)cdot frac{ sqrt{2} }{2} + (1+4)cdot frac{ sqrt{2} }{2}= 14cdot frac{ sqrt{2} }{2} + 5cdot frac{ sqrt{2} }{2}= frac{19 sqrt{2} }{2}$