Question

Прошу помогите решить
1 и 2 найти частные производны
3 пример показать что функция удовлетворяет уравнению

Answer 1

1. Находя частную производную по х, предполагаем, что у - константа.
$z=arccos sqrt{x^2+y^2} \ dfrac{partial z}{partial x} =- dfrac{1}{ sqrt{1-(sqrt{x^2+y^2})^2} } cdot(sqrt{x^2+y^2})'_x= \ =- dfrac{1}{ sqrt{1-(x^2+y^2)} } cdot dfrac{1}{2sqrt{x^2+y^2}} cdot (x^2+y^2)'_x \ =- dfrac{1}{ sqrt{1-x^2-y^2} } cdot dfrac{1}{2sqrt{x^2+y^2}} cdot 2x= - dfrac{x}{ sqrt{1-x^2-y^2} sqrt{x^2+y^2}}$

2. Находя частную производную по у, предполагаем, что х - константа.
$z=cosln frac{x}{y} \ dfrac{partial z}{partial y} =-sinln dfrac{x}{y} cdot (ln dfrac{x}{y} )'_y= -sinln dfrac{x}{y} cdot dfrac{y}{x} cdot (dfrac{x}{y} )'_y= \ -sinln dfrac{x}{y} cdot dfrac{y}{x} cdot (-dfrac{x}{y^2} )= dfrac{1}{y}sinln dfrac{x}{y}$

3. Находим частные производные и подставляем их в предложенное соотношение.
$z=xe^{- frac{y}{x} } \ dfrac{partial z}{partial x} =x'_xcdot e^{- frac{y}{x} }+xcdot (e^{- frac{y}{x} })'_x= e^{- frac{y}{x} }+xcdot e^{- frac{y}{x} } cdot(- frac{y}{x})'_x= \ =e^{- frac{y}{x} }+xcdot e^{- frac{y}{x} } cdot frac{y}{x^2}= e^{- frac{y}{x} }+frac{y}{x} e^{- frac{y}{x} } =(1+frac{y}{x}) e^{- frac{y}{x} }$
$dfrac{partial z}{partial y} =xcdot(e^{- frac{y}{x} })'_y= xcdot e^{- frac{y}{x} }cdot (- frac{y}{x} )'_y= xcdot e^{- frac{y}{x} }cdot (- frac{1}{x}) =-e^{- frac{y}{x} }$
$dfrac{partial^2z}{partial x partial y}= dfrac{partial frac{partial z}{partial y}}{ partial x}= (-e^{- frac{y}{x} })'_x=-e^{- frac{y}{x} }cdot (- frac{y}{x})'_x= -e^{- frac{y}{x} }cdot frac{y}{x^2}=- frac{y}{x^2}e^{- frac{y}{x} }$
$dfrac{partial^2z}{ partial y^2}= dfrac{partial frac{partial z}{partial y}}{ partial y}= (-e^{- frac{y}{x} })'_y=-e^{- frac{y}{x} }cdot (- frac{y}{x})'_y= -e^{- frac{y}{x} }cdot (-frac{1}{x})= frac{1}{x}e^{- frac{y}{x} }$
Проверяем равенство:
$xcdot dfrac{partial^2z}{ partial xpartial y}+2( frac{partial z}{partial x} +frac{partial z}{partial y} )=ycdot dfrac{partial^2z}{ partial y^2} \ xcdot (-frac{y}{x^2}cdot e^{- frac{y}{x} })+2((1+frac{y}{x}) e^{- frac{y}{x} } +(-e^{- frac{y}{x} }) )=ycdot frac{1}{x}e^{- frac{y}{x} }$
Сокращаем на е в степени:
$xcdot (-frac{y}{x^2})+2((1+frac{y}{x}) +(-1) )=ycdot frac{1}{x} \ -frac{y}{x}+2(1+frac{y}{x} -1 )=ycdot frac{1}{x} \ -frac{y}{x}+2cdotfrac{y}{x}=frac{y}{x} \ frac{y}{x}=frac{y}{x}$
Верное равенство.