Question

Шнур в виде замкнутой окружности вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с угловой скорость . Масса шнура m, длина шнура l0, коэффициент жесткости k. Найти силу натяжения шнура.

Answer 1

Рассмотрим элемент шнура, заключенный в центральном угле Δα. Слева и справа на него действуют силы натяжения, и угол между их направлениями π-Δα. Сложим их векторно, их сумма будет

$F = 2Tsin(Deltaalpha/2)approx TDeltaalpha$

Эта сила придает центростремительное ускорение элементику шнура. Его масса равна 

Δm = m*Δα/2π

Запишем второй закон Ньютона
$Delta m cdotomega^2R = TDeltaalpha\ frac{momega^2R}{2pi} = T$

С другой стороны по закону Гука T = k(L-L0) = k(2πR-L0) поэтому

$frac{momega^2R}{2pi} = k(2pi R-l_0)\ R(2pi k - frac{momega^2}{2pi}) = kl_0\\ R = kl_0(2pi k - frac{momega^2}{2pi})^{-1} = frac{l_0}{2pi}(1-frac{momega^2}{4pi^2k})^{-1}$

Мы нашли радиус вращающегося кольца. Отметим что при нулевой угловой скорости радиус совпадает с радиусом нерастянутого кольца (длина окружности делить на два пи), и устойчивое вращение возможно только при не слишком больших угловых скоростях. Силу натяжения найти теперь легко

$T = k(2pi R-l_0) = k(l_0(1-frac{momega^2}{4pi^2k})^{-1}-l_0) = \\ = kl_0[(1-frac{momega^2}{4pi^2k})^{-1}-1]$