Question

помогите найти общее решение уравнения пожалуйста

Answer 1

Найти общее решение дифференциального уравнений
у' + 2y - y² = 0
Решение
у' + 2y - y² = 0
                у' = y² -2у
Разделим обе части уравнения на  у²-2у
$frac{y'}{y^2-2y} =1$
Интегритуем обе части уравнения
$intlimits{ frac{y'}{y^2-2y} } , dy = intlimits{} , dx$
Для нахождения интеграла в левой части уравнения разложим дробь на сумму дробей
$frac{1}{y^2-2y}= frac{1}{y(y-2)}= frac{1}{2(y-2)}- frac{1}{2y}$
Подставляем в интеграл
$intlimits{ frac{y'}{y^2-2y} } , dy=intlimits{(frac{1}{2(y-2)}- frac{1}{2y}) , dy= frac{1}{2} intlimits{frac{1}{y-2} , dy-frac{1}{2} intlimits{frac{1}{y} , dy=$$frac{1}{2}ln(y-2)- frac{1}{2}ln(y)= frac{1}{2}ln( frac{y-2}{y} )= frac{1}{2}ln(1- frac{2}{y})$
Интеграл правой стороны уравнения равен
$intlimits{} , dx=x+frac{1}{2}ln(C)$
Получили
$frac{1}{2}ln(1- frac{2}{y}) =x+frac{1}{2}ln(C)$
$ln(1- frac{2}{y}) =2x+ln(C)$
$1- frac{2}{y} =e^{2x+ln(C)}$
$frac{2}{y} =1-Ce^{2x}$
$y = frac{2}{1-Ce^{2x}}$
Можно представить и вдругом виде если разделить числитель и знаменатель на С и заменить 1/С на С1
$y= frac{2C_1}{C_1+e^{2x}}$