Question

Массивный шарик, привязанный упругой нитью к потолку, вращается по окружности в горизонтальной плоскости так, что нить подвеса описывает в пространстве конус. Угол между вертикалью и нитью подвеса равен 18 градусов . Кинетическая энергия шарика равна Ek=8,6 Дж
При вращении относительное увеличение длины нити подвеса составляет
δ=ℓ−ℓ0/ℓ0=10%, где ℓ0 - длина нити в не растянутом состоянии.
Найдите потенциальную энергию растянутой нити. Ответ представить в джоулях. Ускорение свободного падения считать равным g=9,8 м/с^2

Answer 1

Если длина нити ℓ, то радиус вращения равен из геометрии ℓ*sinα. Запишем второй закон Ньютона (проекция силы упругости нити T*sinα)

$mfrac{v^2}{lsinalpha} = Tsinalpha\\ mfrac{v^2}{2} = 0.5Tlsin^2alpha = E_k$

Вспомним что T = k(ℓ-ℓ₀) где k - коэффициент упругости нити

$0.5k(l-l_0)lsin^2alpha = E_k\\ k = frac{2E_k}{l(l-l_0)sin^2alpha}$

Найдем потенциальную энергию

$E_p = frac{k(l-l_0)^2}{2} = frac{E_k(l-l_0)^2}{l(l-l_0)sin^2alpha} = E_kfrac{(l-l_0)/l}{sin^2alpha} = \\ frac{E_k}{sin^2alpha}frac{l-l_0}{l_0}frac{l_0}{l} = frac{E_k}{sin^2alpha}delta(l/l_0)^{-1} = frac{E_k}{sin^2alpha}delta(1+delta)^{-1} = \\ frac{E_kdelta}{sin^2alpha(1+delta)}$