Question

Помогите пожалуйста доказать:

Answer 1

Делимость очевидна в обоих случаях, так как многочлен и двучлен имеют общий корень x = a и x=-a соответственно. Частное найдем методом неопределенных коэффициентов

$(x-a)(x^{n-1}+b_1x^{n-2}+b_2x^{n-3}+...+a^{n-1}) = x^n-a^n\ (b_1-a)x^{n-1} + (b_2-ab_1)x^{n-2} + (b_3-ab_2)x^{n-3} + ... = 0$

Если приравнять к нулю все коэффициенты, все получается. Начнем с того, что b1 = a, а остальные коэффициенты b2, b3 находятся по цепочке и получается

$(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+a^3x^{n-4}...+a^{n-1}) = x^n-a^n$

Вторую задачу решим аналогично
$(x+a)(x^{2n-2}+b_1x^{2n-3}+b_2x^{2n-4}+...-a^{2n-2}) = x^{2n-1}+a^{2n-1}\ (b_1+a)x^{2n-2}+(b_2+ab_1)x^{2n-3}+... = 0$

Опять приравняем все к 0 и получим
b1 = -a; b2 = a^2; b3 = -a^3... и слагаемых там ровно столько, что знаки в конце сойдутся, чтобы последнее слагаемое вышло -a^{2n-2}

Получим
$(x+a)(x^{2n-2}-ax^{2n-3}+a^2x^{2n-4}-a^3x^{2n-5}+...-a^{2n-2}) =\ x^{2n-1}+a^{2n-1}$

Answer 2

А, блин, это не на ту задачу ответ, я окно перепутал.

Answer 3

Пришлось и эту решить, теперь правильно