Question

Брусок массы m лежит на плоскости, наклоненной
под углом α к горизонту. На него действует
горизонтальная сила F (см. рисунок). Определите
ускорение бруска. Коэффициент трения бруска о
плоскость M.

Answer 1

В задаче есть случаи, но надо сначала сказать что-нибудь точно

Спроецируем все силы на ось, перпендикулярную плоскости, предполагая, что тело все-таки лежит на ней, а не отрывается от нее внешней силой F

$0 = mgcosalpha - N - Fsinalpha\ N = mgcosalpha - Fsinalpha$

Итак, поскольку сила реакции опоры не может быть меньше нуля, находим первое ограничение на силу F

$Fsinalphaleq mgcosalpha\ F leq mgcotalpha$

Поработаем в этом режиме. Сила F и сила тяжести стремятся двигать брусок вниз вдоль плоскости, значит сила трения направлена вверх вдоль плоскости. Тут также возможны два случая - тело покоится и тело стоит. Найдем в каком случае тело будет покоиться.

$0 = Fcosalpha+mgsinalpha-F_t\ F_t = Fcosalpha+mgsinalpha$

Сила трения не может превышать μN, поэтому

$mu(mgcosalpha - Fsinalpha)geq Fcosalpha+mgsinalpha\ F(cosalpha+musinalpha)leq mg(mucosalpha-sinalpha)\ F leq mgfrac{mucosalpha-sinalpha}{musinalpha + cosalpha}$

Отметим, что при μ<tgα неравенство теряет смысл, и брусок не сможет ни при каких F, покоиться на плоскости, в ином случае это будет возможно при некоторых малых значениях силы F, и ускорение будет 0. Если брусок движется, то

$ma = Fcosalpha+mgsinalpha - mu N = \Fcosalpha+mgsinalpha -mu(mgcosalpha - Fsinalpha) = \ F(cosalpha+musinalpha) + mg(sinalpha-mucosalpha)\ a = frac{F}{m}(cosalpha+musinalpha) +g(sinalpha-mucosalpha)$

Наконец вернемся к случаю, когда сила отрывает брусок от клина. Тогда у тела будет горизонтальное ускорение F/m и вертикальное g, поэтому полное ускорение составит

$a = sqrt{(F/m)^2+g^2}$
Соберем ответ

1) 
$F textgreater mgcotalpha$

$a = sqrt{(F/m)^2+g^2}$

2)
$F textless mgcotalpha$

2a)
μ<tgα

$a = frac{F}{m}(cosalpha+musinalpha) +g(sinalpha-mucosalpha)$

2b)
μ >= tgα

2b-1)

$F leq mgfrac{mucosalpha-sinalpha}{musinalpha + cosalpha}$

a = 0

2b-2)
$F textgreater mgfrac{mucosalpha-sinalpha}{musinalpha + cosalpha}$

такой же ответ как и в 2а

Answer 2

Два случая, случай 2 дробится на две ситуации 2a и 2b и ситуация 2b дробится еще на два варианта 2b-1 и 2b-2