Question

Всё в картинке. Нужно для определения ускорения решить это уравнение лаба по закону стокса срочно прошу помогитеё

Answer 1

Решим дифур

$mfrac{dv}{dt} = F_0 - F(v)\ mfrac{dv}{dt} = mg-F_A - (kv)\ mfrac{dv}{dt} -mg+F_A + kv = 0$

Где сила сопротивления пропорциональна скорости (kv). Сделаем замену

v = vf+u где vf = (mg- F_A)/k. Тогда dv/dt = du/dt и получаем

$mfrac{du}{dt} -mg+F_A+k((mg-F_A)/k+u) = 0\ mfrac{du}{dt} + ku = 0\ frac{du}{dt} = -frac{k}{m}u\ frac{du}{u} = -frac{k}{m}dt\ ln(u/u_0) = -frac{k}{m}t\ u = u_0exp(-frac{k}{m}t)\ v = frac{1}{k}(mg-F_A)+u_0exp(-frac{k}{m}t)$

Найдем u0 из начального условия v(0) = v0.

$v(0) = frac{1}{k}(mg-F_A)+u_0 = v_0\ u_0 = v_0 - frac{1}{k}(mg-F_A)\\ v(t) = frac{1}{k}(mg-F_A)+(v_0 - frac{1}{k}(mg-F_A))exp(-frac{k}{m}t) = \ =v_0exp(-frac{k}{m}t) + frac{1}{k}(mg-F_A)[1-exp(-frac{k}{m}t)]$

Отсюда понятен физический смысл vf = (mg- F_A)/k: это установившаяся скорость.

Закон движения найдем интегрированием

$x(t) = int (v_0exp(-frac{k}{m}t) + frac{1}{k}(mg-F_A)[1-exp(-frac{k}{m}t)])dt=\ frac{m}{k}[frac{1}{k}(mg-F_A) - v_0]exp(-frac{k}{m}t)+frac{1}{k}(mg-F_A)t+x_0$