Question

Как решать?Можно с подробным решениям.
интеграл сosx/tg(^5)x

Answer 1

$int frac{cosxcdot dx}{tg^5x} =int frac{cosxcdot dx}{ frac{sin^5x}{cos^5x} } =int frac{cos^5xcdot cosxcdot dx}{sin^5x} =\\=[, u=cos^5x,; du=-5cos^4xcdot sinx, dx,; dv= frac{cosxcdot dx}{sin^5x} ,\\v=int frac{cosx, dx}{sin^5x}=int frac{d(sinx)}{sin^5x} =int (sinx)^{-5}cdot d(sinx)=int t^{-5}dt=\\= frac{t^{-4}}{-4}= frac{(sinx)^{-4}}{-4} = -frac{1}{4sin^4x} ; ;; ; int ucdot dv=uv-int v, du; ]=$

$=- frac{cos^5x}{4sin^4x} -int frac{5cos^4xcdot sinx, dx}{4sin^4x} =- frac{cos^5x}{4sin^4x} -frac{5}{4}, int frac{cos^4x, dx}{sin^3x} =\\=[, u=cos^3x,du=-3cos^2xcdot sinx, dx,dv= frac{cosx, dx}{sin^3x}=(sinx)^{-3}cdot cosx, dx ,$

$v=int (sinx)^{-3}cdot d(sinx)=frac{(sinx)^{-2}}{-2}=- frac{1}{2sin^2x}; ]=\\=- frac{cos^5x}{4sin^4x} - frac{5}{4} cdot (frac{cos^3x}{2sin^2x} - frac{3}{2}, int frac{cos^2xcdot sinx, dx}{sin^2x} )=\\=- frac{cos^5x}{4sin^4x} - frac{5}{8} cdot frac{cos^3x}{sin^2x}+frac{15}{8}cdot int frac{cos^2x, dx}{sinx} =\\=- frac{cos^5x}{4sin^4x}-frac{5}{8}cdot frac{cos^3x}{sin^2x} + frac{15}{8} cdot int frac{(1-sin^2x)dx}{sinx}=$

$= -frac{cos^5x}{4sin^4x}-frac{5cos^3x}{8sin^2x}+frac{15}{8}cdot (int frac{dx}{sinx}-int sinx, dx)=\\=[, int frac{dx}{sinx}=(t=tgfrac{x}{2},, sinx=frac{2t}{1+t^2},dx= frac{2dt}{1+t^2}, )=\\=int frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|tgfrac{x}{2}|+C, ]=$

$=-frac{cos^5x}{4sin^4x}- frac{5cos^3x}{8sin^2x} + frac{15}{8}cdot lnleft |tgfrac{x}{2}right |+frac{15}{8} cdot cosx+C$

Answer 2

спасибо большое