Question

Решить показательное уравнение

$displaystyle 8^{x+2}+15^{x+2}=17^{x+2}$

Answer 1

Разделим обе части на $15^{x+2}$:
$(8/15)^{x+2}+1=(17/15)^{x+2}$
Т.к. 8/15<1, то функция $(8/15)^{x+2}+1$ убывает на всей действительной оси.
Т.к. 17/15>1, то функция $(17/15)^{x+2}$ возрастает на всей действительной оси.
Значит графики этих функций пересекаются не более чем в одной  точке,
т.е. уравнение может иметь не более одного корня.
Легко угадывается корень х=0: 8²+15²=17². Итак ответ: х=0.

Answer 2

Спасибо, Денис!

Answer 3

Разделим обе части на $15^{x+2}$ :

$displaystyle left( frac{8}{15} right)^{x+2}+1=left( frac{17}{15} right)^{x+2}$

Так как: $displaystyle left( frac{8}{15} right) textless 1$ то функция $displaystyle left( frac{8}{15} right)^{x+2}$ убывает.

Так как: $displaystyle left( frac{17}{15} right) textgreater 1$ то функция $displaystyle left( frac{17}{15} right)^{x+2}$ возрастает.

Значит графики данных функций пересекаются не более чем в одной точке. Это означает, что у уравнения есть единственное решение.

Попробуем ограничить значения x на целых числах.
То есть:
$xin mathbb Z$

Теорема Ферма (доказана в 1995) :

Для любого целого числа $n$,так что:
$n textgreater 2$ либо $n textless -2$

Уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$.

Так как $xin mathbb Z$ то решение у данного уравнения может находиться в промежутке:

$-2 leq x+2 leq 2\\-4 leq x leq 0$

Проверяя весь промежуток, мы находим что:
$x=0 Rightarrow 8^2+15^2=17^2 Rightarrow 289=289$

Answer 4

Спасибо, Айзек