Question

Набор натуральных чисел назовем зимним, если среди них есть такое, которое равно среднему арифметическому всех чисел набора. Назовем число из набора 1,2,3,…,100 декабрьским, если после его удаления оставшиеся 99 чисел образуют зимний набор. Какие числа являются декабрьскими? В ответе укажите сумму всех декабрьских чисел.

Answer 1

Пусть из набора 1,2,3...100 удалили число n, которое тоже от 1 до 100. Посчитаем сумму оставшихся чисел и среднее арифметическое

$1+2+3+...+100 - n = frac{100cdot101}{2}-n = 5050-n\\ M = frac{5050-n}{99}$

Чтобы это среднее арифметическое было в наборе, необходимо как минимум, чтобы оно было целым. 5050 делится на 99 с остатком 1. Значит гипотетически n может быть 1 или 1+99=100, других вариантов просто нет.

В первом случае среднее арифметическое всех оставшихся чисел будет 51 (в наборе есть). Во втором случае --- 50 (в наборе есть).

Декабрьскими являются числа 1 и 100, их сумма 101