Question

Задача 5. Простое значение квадратичной функции

Мистер Фокс записал квадратичную функцию f(x)=x2+ax+b

и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках p и q. Также Фокс обнаружил, что хотя бы одно из чисел p и q, а также f(11) — простые числа. Найдите p+q.

Answer 1

Очевидно, что p и q - целые корни трехчлена. Пусть в силу симметрии задачи относительно p и q,возьмем p=p1 произвольно простым. Тогда по теореме разложения на множители: f(x)=(x-p1)*(x-q) F(11)=(11-p1)*(11-q)=p2 p2-простое. Тк p2 простое ,то 11-p1=+-1 либо 11-p1=+-p2 1) p1=12 или p1=10 ,невозможно Тк 10 и 12 не простые числа. 2) p1+-p2=11 Предположим, что простые числа p1 и p2 нечетные,тогда их сумма(разность) четное число,что невозможно,значит хотя бы одно из них четно,а значит равно 2. Положим что p1=2,тогда: +-p2=11-2=9 (невозможно),тк 9 число -составное. Значит p2=2 p1+-2=11 p1=13 или p1=9 (не подходит) Откуда: p1=p=13 ;p2=2 (11-p1)*(11-q)=2 -2*(11-q)=2 11-q=-1 q=10 p+q=13+10=23. Ответ :23

Answer 2

Мистер Фокс записал квадратичную функцию f(x)=x2+ax+bf(x)=x2+ax+b и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках pp и qq. Также Фокс обнаружил, что хотя бы одно из чисел pp и qq, а также f(59)f(59) — простые числа. Найдите p+qp+q.