Question

6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр на две части, равные 3 и 9. Найдите объём меньшей части. 

Answer 1

Диаметр делится на 2 части, равные 3 и 9, поэтому диаметр равен 12, а радиус 6.
Объем шарового сегмента:
$V={1over3}pi h^2(3R-h)$
Из условия:
$h=3,,R=6\V={1over3}pi*9*(18-3)=45pi$

Если мы не знаем (не помним) формулу объема шарового сегмента, то ее можно вывести:
Пусть радиус шара R, высота шарового сегмента h. Тогда объем шарового сегмента есть интеграл от площади сечения перпендикулярной к диаметру плоскости (которое является кругом) от R-h до R:
$V= intlimits^{R}_{R-h} {pi (R^2-x^2)} , dx =pi({R^2x-{x^3over3}})underset{R-h}{overset{R}{|}}=\={piover3}(3R^2(R-R+h)-(R^3-(R-h)^3))=\={piover3}(3R^2h-R^3+R^3-3R^2h+3Rh^2-h^3)={piover3}h^2(3R-h)$

Где $pi(R^2-x^2)$ - площадь сечения, проходящего на расстоянии x от центра шара ($xin[-R;R]$)