Question

Для чисел 1,1,2,3,5,8,... дана следующая формула
$F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{3} = 2, F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$
Доказать с помощью индукции, что $F_{3k}$ выдает всегда четные числа.

Answer 1

докажем методом математической индукции что

0)

F(3n-2) – нечетное, F(3n-1) – нечетное, F(3n) – четное, - исследуемое утверждение

1)

убедимся что при n=1 верно (0):

действительно по условию
F(1)=1 – нечетное, F(2)=1 – нечетное, F(3) – четное,

2)

предположим что при n=к верно (0):
F(3n-2) – нечетное, F(3n-1) – нечетное, F(3n) – четное,
а именно
F(3к-2) – нечетное, F(3k-1) – нечетное, F(3k) – четное,

3)

проверим, или справедливо для n=k+1 утверждение (0):

так как F(3к-2) – нечетное, F(3k-1) – нечетное, F(3k) – четное, (см.2)
то F(3k+1)=F(3k-1) +F(3k) =нечетное+четное=нечетное, (3.1)
то F(3k+2)=F(3k) +F(3k+1) =четное+нечетное=нечетное, (3.2)

то F(3k+3)=F(3k+1) +F(3k+2) =нечетное+нечетное=четное, (3.3)

F(3n-2)=F(3(к+1)-2)=F(3к+3-2)=F(3к+1) – нечетное, см.(3.1)

F(3n-1)=F(3(к+1)-1)=F(3к+3-1)=F(3к+2) – нечетное, см.(3.2)

F(3n)=F(3(к+1))=F(3к+3) – нечетное, см.(3.3)

так как для n=k+1 утверждение (0) истинно — значит (0) доказано методом матем индукции